POLINOMIAL (SUKU BANYAK) =>MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XI MIPA SEMESTER 2

Selasa, 15 Maret 2022

POLINOMIAL (SUKU BANYAK)

Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan aljabar yang variabel (peubahnya) berpangkat Bilangan bulat non negatif.

Bentuk umum :

y = F(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + … + a_n-1x + a_n

Dengan n Є bilangan bulat

a_n ≠ 0

Pengertian-pengertian:

a₀, a₁, a₂ ,…, a_n-1 , a_n

Disebut koefisien masing-masing bilangan real (walaupun boleh juga bilangan kompleks)

Derajat Suku Banyak adalah pangkat tertinggi dari pangkat-pangkat pada tiap-tiap suku, disebut n.Untuk suku banyak nol dikatakan tidak memiliki derajat.

Suku : a₀xⁿ , a₁x^n-1 , a₂x^n-2 , … , a_n-1x , a_n

Masing-masing merupakan suku dari suku banyak

Suku Tetap (konstanta)

A₀adalah suku tetap atau konstanta, tidak mengandung variabel/peubah. Sedangkan a_nxⁿ adalah suku berderajat tinggi.

Soal

1. Diketahui suku banyak: f(x) = 2x⁵+3x⁴-5x²+x-7

Tentukan suku tetapnya.

Jawab :

Suku tetap adalah konstanta.

Maka, suku tetapnya adalah -7

2. Diketehui suku banyak: f(x) = 2x⁵+3x⁴-5x²+x-7

tentukan derajat suku banyaknya

Jawab:

Derajat suku banyak adalah pangkat tertinggi dari suku-suku yang ada.

x⁵ adalah pangkat tertinggi. Jadi f(x) berderajat 5

NILAI SUKU BANYAK

Jika f(x) = axⁿ + bx^n-1+CX^N-2+…+f maka nilai suku banyak dapat dicari dengan cara subtitusi dan skematik.

Soal

1. Diketahui fungsi polinom f(x) = 2x⁵+3x⁴-5x²+x-7

Maka nilai fungsi tersebut untuk x=-2 adalah

a. -90 d. 45

b. -45 e. 90

c. 0

Pembahasan

f(x) = 2x⁵+3x⁴-5x²+x-7

Cara 1 (subtitusi): x = -2

f(-2)= 2(-2)⁵+3(-2)⁴+5(-2)²+(-2)-7

f(-2)= -45

Cara 2 (skematik)

f(x) = 2x⁵+3x⁴-5x²+x-7, x=-2

Ambil koefisiennya:

-2 2 3 0 -5 1 -7

-4 2 -4 18 -38 +

2 -1 2 -9 19 -45

Jadi nilai suku banyaknya -45

2. Diketahui fungsi kuadrat : f (x) = 1 x²+ 3 x - 5

2 4

untuk x=2 maka nilai suku banyak tersebut adalah:

Pembahasan:

Cara Substitusi: f(2) = 1 (2)²+ 3 (2) - 5

2 4

= 2 + 3 - 5

= - 3

Cara skematik:

2 1 3 - 5

2 4

1 7

1 7 -3

2 4 2

Jadi nilai suku banyaknya -3/2

OPERASI PADA SUKU BANYAK

Penjumlahan, pengurangn dan perkalian Suku Banyak

1. Penjumlahan

contohnya: f (x) = 3x⁴ – 2x³ + 5x² – 4x + 3 , g(x) = 4x³ – 6x² + 7x - 1

Tentukan : f (x) + g(x)

Jawab : f (x) + g(x) = (3x⁴ – 2x³ + 5x² – 4x + 3) + (4x³ – 6x² + 7x – 1)

= 3x⁴ + (-2 +4)x³ + (5-6)x² + (-4+7)x + (3-1)

= 3x⁴ + 2 x³ – 1x² + 3x + 2

2. Pengurangan

contoh: : f (x) = 3x⁴ – 2x³ + 5x² – 4x + 3 , g(x) = 4x³ – 6x² + 7x - 1

Tentukan : f (x) - g(x)

Jawab : f (x) - g(x) = (3x⁴ – 2x³ + 5x² – 4x + 3) - (4x³ – 6x² + 7x – 1)

= 3x⁴ + (-2 -4)x³ + (5+6)x² + (-4-7)x + (3+1)

= 3x⁴ - 6x³ +11x² - 11x + 4

3. Perkalian

Contohnya: f (x) = 2x³ + 5x² – 4x + 3 , g(x) = 6x² + 7x - 1

Tentukan : f (x) x g(x)

Jawab : f (x) x g(x) = (2x³ + 5x² – 4x + 3) x (6x² + 7x – 1)

= 2x³ (6x² + 7x – 1) + 5x² (6x² + 7x – 1)

– 4x (6x² + 7x – 1) + 3 (6x² + 7x – 1)

= 12x⁵ + 14x⁴ – 2x³ + 30x⁴ + 35x³ – 5x²

- 24x³ – 28x² + 4x + 18x² +21x - 3

= 12x⁵ + 34x⁴ – 26x³– 15x²+ 25x – 3

PEMBAGIAN PADA SUKU BANYAK

Pembagian sukubanyak P(x) oleh (x – a) dapat ditulis dengan

P(x) = (x – a)H(x) + S

Keterangan:

P(x) sukubanyak yang dibagi,

(x – a) adalah pembagi,

H(x) adalah hasil pembagian,

dan S adalah sisa pembagian

TOREMA SISA

Jika sukubanyak P(x) dibagi (x – a), sisanya P(a) dibagi (x + a) sisanya P(-a)

dibagi (ax – b) sisanya P(b/a)

Contoh 1:

Tentukan sisanya jika 2x3 – x2 + 7x + 6 dibagi x + 1 atau dibagi x – (-1)

Jawab: sisanya adalah

P(-1) = 2.(-1)3 – (-1)2 + 7(-1) + 6

= - 2 – 1 – 7 + 6

= -4

Contoh 2:

Tentukan sisa dan hasil baginya jika x3 + 4x2 - 5x – 8 dibagi x - 2

Jawab:

Dengan teorema sisa, dengan mudah kita dapatkan sisanya,

yaitu P(2) = 8 + 16 - 10 - 8

= 6

tapi untuk menentukan hasil baginya kita gunakan: Pembagian Horner:

dengan menggunakan bagan seperti berikut:

x3 + 4x2 - 5x – 8 dibagi x - 2

2 1 4 -5 -8 koefisien

2 12 14 Polinum

1 6 7 6

Koefisien hasil bagi 1 6 7

Jadi hasil baginya: x2 + 6x + 7

Contoh 3:

Tentukan sisa dan hasil baginya jika 2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x - 1

Jawab:

(2x3 - 7x2 + 11x + 5) : (2x – 1)

Sisa:

P(½) = 2(½)3 – 7(½)2 + 11.½ + 5

= 2.⅛ - 7.¼ + 5½ + 5

= ¼ - 1¾ + 5½ + 5

= 9

2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1

Kita gunakan pembagian horner

2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1 →x = 1

2 -7 11 5

2 1 -3 4

2 -6 8 9

Koefisien hasil bagi 2 -6 8 9

Sehingga 2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1

Dapat ditulis: 2x3 – 7x2 + 11x + 5 = (x - ½)(2x2 – 6x + 8) + 9

= (2x – 1)(x2 – 3x + 4) + 9

Pembagi : 2x - 1

Hasil bagi : x2 – 3x + 4

Sisa : 9

Contoh 4:

Nilai m supaya 4x⁴ – 12x³+ mx² + 2 habis dibagi 2x – 1 adalah….

Jawab: habis dibagi → S = 0

P(½) = 0

4(½)⁴ – 12(½)³ + m(½)²+ 2 = 0

¼ - 1½ + ¼m + 2 = 0

¼m = -¼ + 1½ - 2 (dikali 4)

m = -1 + 6 – 8

m = -3

Jadi nilai m = -3

Pembagian Dengan (x –a)(x – b)

Bentuk pembagiannya dapat ditulis sebagai

P(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x)

berarti: untuk x = a , P(a) = S(a) dan untuk x = b,P(b) = S(b)

Catatan: S(x) berderajat 1, misal px + q

Contoh5:

Suku banyak (x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6) dibagi (x2 – x – 2), sisanya sama dengan….

Jawab:

Bentuk pembagian ditulis: P(x) = (x2 – x – 2)H(x) + S(x)

Karena pembagi berderajat 2 maka sisa = S(x) berderajat 1

misal: sisanya px + q

sehingga bentuk pembagian ditulis:

Fx4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x2 – x – 2)H(x) + px + q

Fx4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x + 1)(x – 2)H(x) + px + q

P(x) dibagi (x + 1) bersisa P(-1)

P(x) dibagi (x – 2) bersisa P(2)

P(-1) = (-1)4 – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6

= 1 + 3 – 5 – 1 – 6 = -8

P(2) = 24 – 3.23 – 5.22 + 2 – 6

= 16 – 24 – 20 + 2 – 6 = -32

P(x) = px + q

P(-1) = -p + q = -8

P(2) = 2p + q = -32 _

-3p = 24 ® p = -8

p = -8 disubstitusi ke

–p + q = -8

8 + q = -8 ® q = -16

Sisa: px + q = -8x + (-16) Jadi sisa pembagiannya: -8x -16

Contoh 6:

Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 2 bersisa -13, dibagi oleh x – 3 sisanya 7.

Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x2 – x - 6 bersisa….

Jawab:

Misal sisanya: S(x) = ax + b,

P(x): (x + 2) Þ S(-2) = -13 ® -2a + b = -13

P(x): (x – 3) Þ S(3) = 7 ® 3a + b = 7 _

-5a = -20® a = 4

a = 4 disubstitusi ke -2a + b = -13

® -8 + b = -13

® b = -5

Jadi sisanya adalah: ax + b = 4x - 5

Contoh 7:

Jika suku banyak

P(x) = 2x⁴+ ax³ - 3x²+ 5x + b dibagi oleh (x² – 1) memberi sisa 6x + 5, maka a.b=….

Jawab :

P(x) = 2x⁴ + ax³ - 3x² + 5x + b

P(x) : (x² – 1) Þ sisa = 6x + 5

Pembagi : (x² -1) = (x + 1)(x – 1)

Maka:

P(x):(x + 1) Þ sisa =P(-1)

P(-1) = 2(-1)⁴ + a(-1)³ – 3(-1)² + 5(-1) + b = 6(-1) + 5

2 - a - 3 – 5 + b = – 6 + 5

-a + b - 6 = -1

-a + b = 5…………….(1)

P(x):(x – 1) Þ sisa =P(1)

P(1) = 2 (1)⁴ + a(1)³ – 3(1)² + 5(1) + b = 6(1) + 5

2 + a - 3 + 5 + b = 6 + 5

a + b + 4 = 11

a + b = 7…………………...(2)

-a + b = 5.…(1)

a + b = 7….(2) +

2b = 12

® b = 6

b = 6 disubstitusi ke a + b = 7

a + 6 = 7

a = 1

Jadi a.b = 1.6 = 6

Contoh 8

Jika suku banyak x³ – x² + px + 7 dan sukubanyak 2x³ + 3x² - 4x – 1 dibagi (x + 1)

akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai p sama dengan….

Jawab:

x³ – x² + px + 7 dibagi (x + 1)

Sisanya P(-1) = -1 -1 – p + 7

= 5 - p

2x³ + 3x² - 4x – 1 dibagi (x + 1)

Sisanya P(-1) = -2 + 3 + 4 – 1

= 4

Karena sisanya sama,

Berarti 5 – p = 4

- p = 4 – 5

Jadi p = 1

Contoh 9

Jika suku banyak x³ – 7x + 6 dan sukubanyak x³ – x² – 4x + 24 dibagi (x + a) akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai a sama dengan….

Jawab:

x³ – 7x + 6 dibagi (x + a)

Sisanya P(-a) = a³ – 7a + 6

x³ – x² – 4x + 24 dibagi (x + a)

Sisanya P(-a) = a³ – a² – 4a + 24

Sisanya sama berarti:

a³ – 7a + 6 = a³ – a² – 4a + 24

a² – 7a + 4a + 6 – 24 = 0

a²– 3a – 18 = 0

(a + 3)(a – 6) = 0

a = -3 atau a = 6

Jadi nilai a = - 3 atau a = 6

Contoh 10:

Jika suku banyak

P(x) = 2x³ + ax² - bx + 3 dibagi oleh (x² – 4) memberi sisa x + 23, maka a + b=….

Jawab :

P(x) = 2x³ + ax² - bx + 3

P(x) : (x² – 4) Þ sisa = x + 23

Pembagi : (x² – 4) = (x + 2)(x – 2)

Maka:

P(x):(x + 2) Þ sisa = P(-2)

-16 + 4a + 2b + 3 = (-2) + 23

4a + 2b = 21 + 13

4a + 2b = 34….(1

P(x) = 2x³ + ax² - bx + 3

P(x) : x² - 4 Þ sisa = x + 23

Pembagi : x² -1 = (x + 2)(x – 2)

Maka:

P(x):(x – 2) Þ sisa =P(2)

16 + 4a – 2b + 3 = 2 + 23

4a – 2b + 19 = 25

4a – 2b = 25 – 19

4a – 2b = 6….(2)

4a + 2b = 34.…(1)

4a – 2b = 6….(2) +

8a = 40

® a = 5

a = 5 disubstitusi ke 4a – 2b = 6

20 – 2b = 6

- 2b = -14 ® b = 7

Jadi a + b = 5 + 7 = 12

TEOREMA FAKTOR

Jika f(x) adalah sukubanyak; (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika

f(k) = 0

Artinya: Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai f(k) = 0 sebaliknya, jika f(k) = 0 maka (x – k) merupakan faktor

Contoh 1:

Tunjukan (x + 1) faktor dari x³ + 4x²+ 2x – 1

Jawab:

(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0

P(-1) = (-1)³ + 4(-1)²+ 2(-1) – 1

= -1 + 4 – 2 – 1 = 0

Jadi, (x + 1) adalah faktornya.

Cara lain untuk menunjukan (x + 1) adalah faktor dari x³ + 4x² + 2x – 1 adalah dengan

pembagian horner:

1 4 2 -1

-1 -1 -3 1 +

1 3 -1 0

Karena sisa pembagiannya 0 maka (x + 1) meripakan factor dari x³ + 4x² + 2x – 1

Contoh 2:

Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6

Jawab:

Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6, yaitu

pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k itu kita substitusikan

ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh:

P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6

= 2 – 1 – 7 + 6

= 0

Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu factor dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6

Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x – 1) dengan

pembagian horner:

Koefisien sukubanyak P(x) = 2x³ – x² – 7x + 6 adalah 2 -1 -7 6

2 -1 -7 6

1 2 1 -6

2 1 - 6 0

Hasil baginya: H(x) = 2x²+ x - 6

Karena hasil baginya adalah H(x) = 2x² + x – 6 = (2x – 3)(x + 2) dengan demikian

2x³– x – 7x + 6 = (x – 1)(2x² + x – 6)

2x³ – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)

Jadi faktor-faktornya adalah (x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)

Contoh 3:

Diketahui (x – 2) adalah factor P(x) = 2x³ + x² - 7x - 6. Salah satu faktor yang lainnya

adalah…. a. x + 3

b. x – 3

c. x – 1

d. 2x – 3

e. 2x + 3

P(x) = 2x³ + x²- 7x – 6 berarti koefisien P(x) adalah 2 1 -7 -6 k = 2

2 1 -7 -6

2 4 10 6 +

2 5 3 0

Hasil baginya: H(x) = 2x2 + 5x + 3

= (2x + 3)(x + 1)

Jadi faktor yang lain adalah 2x + 3

Contoh 4:

Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2 mempunyai faktor (x – 1). Jika dibagi oleh (x + 2) bersisa -36, maka nilai a + b adalah….

a. 5 b. 6 c. 7 d.8 e.9

Jawab:

Sukubanyak f(x) = x³ - ax²+ bx – 2

(x – 1) faktor f(x) → f(1) = 0

1 – a + b – 2 = 0

-a + b = 1….(1)

dibagi (x + 2) bersisa -36, f(-2) = -36

(-2)³ – a(-2)² + b(-2) – 2 = -36

- 8 – 4a – 2b – 2 = -36

- 4a – 2b = -36 + 10

-4a – 2b = -26

2a + b = 13….(2)

Persamaan (1): -a + b = 1

Persamaan (2): 2a + b = 13 -

-3a = -12

a = 4

b = 1 + 4 = 5

Jadi nilai a + b = 4 + 5 = 9

Akar-akar Rasional Persamaan Sukubanyak

Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-akar sebuah persamaan sukubanyak, karena ada hubungan antara faktor dengan akar-akar persamaan sukubanyak

Jika P(x) adalah sukubanyak; (x – k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0

k disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak: P(x) = 0

Teorema Akar-akar Rasional

Jika P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + ao dan (x – k) merupakan faktor dari P(x) maka

K merupakan akar dari P(x).

Contoh 1:

Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x³ – 7x + 6. Kemudian tentukan akar-akar yang lain.

Jawab:

Untuk menunjukan -3 akar dari P(x), cukup kita tunjukan bahwa P(-3) = 0

P(x) = x³ – 7x + 6.

P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6

= -27 + 21 + 6

= 0

Oleh karena P(-3) = 0, maka -3 adalah akar dari Persamaan P(x) = x3 – 7x + 6 = 0

Untuk menentukan akar-akar yang lain, kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi

P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3 dengan pembagian Horner sebagai berikut

P(x) = x3 – 7x + 6

berarti koefisien P(x) adalah 1 0 -7 6 dengan k = -3

1 0 -7 6

-3 -3 9 -6

1 -3 2 0

Hasil baginya: H(x) = x² – 3x + 2

= (x – 1)(x – 2)

sehingga persamaan sukubanyak tsb dapat ditulis menjadi (x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0.

Jadi akar-akar yang lain adalah x = 1 dan x = 2

Contoh 2:

Banyaknya akar-akar rasional dari persamaan x4 – 3x2 + 2 = 0 adalah….

a. 4 b. 3 c. 2 d.1 e.o

Jawab:

Karena persamaan sukubanyak berderajat 4, maka akar-akar rasionalnya paling banyak ada 4 yaitu faktor-faktor bulat dari 2. Faktor-faktor bulat dari 2 adalah 1, -1, 2 dan -2

Dari 4 kemungkinan yang akan menjadi akar-akar rasional persamaan sukubanyak tsb,

kita coba nilai 1

Koefisien x⁴ – 3x² + 2 = 0 adalah 1, 0, -3, 0, dan 2

1 0 -3 0 2

1 1 1 -2 -2

1 1 2 -2 0

Ternyata P(1) = 0, berarti 1 adalah akar rasionalnya,

Selanjutnya kita coba -1.

Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2

1 1 -2 -2

-1 -1 0 2

1 0 -2 0

Ternyata P(-1) = 0, berarti -1 adalah akar rasionalnya, Sehingga:

(x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0

(x2 – 2) difaktorkan lagi menjadi (x - √2)(x + √2) = 0

Berarti akar yang lain: √2 dan -√2, tapi bukan bilangan rasional.

Jadi akar-akar rasionalnya hanya ada 2 yaitu 1 dan -1.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Sukubanyak

Jika akar-akar Persamaan Sukubanyak: ax³ + bx² + cx + d = 0 adalah x₁, x₂, dan x₃ maka

x₁ + x₂ + x₃= -b

x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃ = c

x₁.x₂.x₃ = -d

Contoh 1:

Jumlah akar-akar persamaan x³ – 3x² + 2 = 0 adalah….

Jawab:

a = 1, b = -3, c = 0, d = 2

x₁ + x₂ + x₃ = -b/a = -3/1 = 3

Contoh 2:

Hasilkali akar-akar persamaan 2x³ – x² + 5x – 8 = 0 adalah….

Jawab:

a = 2, b = -1, c = 5, d = -8

x₁.x₂.x₃ = c/a = 5/2

Contoh 3:

Salah satu akar persamaan x³ + px² – 3x – 10 = 0 adalah -2 Jumlah akar-akar persamaan

tersebut adalah….

Jawab:

-2 adalah akar persamaan x³ + px² – 3x - 10 = 0 → -2 memenuhi persamaan tsb.

sehingga: (-2)³ + p(-2)² – 3(-2) - 10 = 0

-8 + 4p + 6 – 10 = 0

4p – 12 = 0 ® 4p = 12® p = 3

Persamaan tersebut: x³ + 3x² – 3x – 10 = 0

Jumlah akar-akarnya: x₁ + x₂ + x₃ = -b/a = -3

Contoh 4:

Akar-akar persamaan x³ – 4x² + x – 4 = 0 adalah x₁, x₂, dan x₃. Nilai x₁² + x₂² + x₃² =….

x₁ + x₂+ x₃= 4

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 1

Jadi:

x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² - 2(x₁x₂ + x₁x₃+ x₂x₃)

= 4² – 2.1

= 16 – 2

= 14